Упр.58.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

а) $$\begin{cases} x+y\geq 3,\\ 2x-3y\leq 1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x-y\geq 1,\\ x+y\leq 1,\\ x\leq 2y; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x-2y\geq 3,\\ x+3y\leq -2; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x-y\geq 2x,\\ x+y\leq 3y,\\ 5x\leq 2y-7. \end{cases}$$

а) Преобразуем неравенства к виду $$y=\dots$$:

$$\begin{aligned} x+y&\ge 3,\\ y&\ge 3-x; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} 2x-3y&\le 1,\\ -3y&\le 1-2x,\\ y&\ge \frac{2x-1}{3}. \end{aligned}$$

Искомая область — пересечение полуплоскостей, лежащих выше прямых $$y=3-x$$ и $$y=\frac{2x-1}{3}$$.

б) Получаем систему:

$$\begin{aligned} x-y&\ge 1, & y&\le x-1,\\ x+y&\le 1, & y&\le 1-x,\\ x&\le 2y, & y&\ge \frac{x}{2}. \end{aligned}$$

Проверим возможность пересечения. Из первых двух неравенств следует

$$x-1\ge \frac{x}{2} \quad\Rightarrow\quad x\ge 2,$$

а из второго и третьего —

$$1-x\ge \frac{x}{2} \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{2}{3}.$$

Одновременно это невозможно, значит, решений нет.

в) Преобразуем неравенства:

$$\begin{aligned} x-2y&\ge 3,\\ 2y&\le x-3,\\ y&\le \frac{x-3}{2}, \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x+3y&\le -2,\\ 3y&\le -x-2,\\ y&\le -\frac{x+2}{3}. \end{aligned}$$

Искомая область — пересечение полуплоскостей, лежащих ниже обеих прямых.

г) Преобразуем систему:

$$\begin{aligned} x-y&\ge 2x,\\ -y&\ge x,\\ y&\le -x; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x+y&\le 3y,\\ x&\le 2y,\\ y&\ge \frac{x}{2}; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} 5x&\le 2y-7,\\ 2y&\ge 5x+7,\\ y&\ge \frac{5x+7}{2}. \end{aligned}$$

Следовательно, искомое множество — пересечение полуплоскостей:

$$y\le -x,\qquad y\ge \frac{x}{2},\qquad y\ge \frac{5x+7}{2}.$$

Это область, лежащая ниже прямой $$y=-x$$ и выше прямых $$y=\frac{x}{2}$$ и $$y=\frac{5x+7}{2}$$.

Ответ

а) пересечение полуплоскостей $$y\ge 3-x$$ и $$y\ge \frac{2x-1}{3}$$;
б) решений нет;
в) пересечение полуплоскостей $$y\le \frac{x-3}{2}$$ и $$y\le -\frac{x+2}{3}$$;
г) пересечение полуплоскостей $$y\le -x$$, $$y\ge \frac{x}{2}$$, $$y\ge \frac{5x+7}{2}$$.