Упр.58.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$x^2 — 5xy + 6y^2 = 2$$; б) $$x^2 + 2xy — 8y^2 = 7$$.
а) $$x^2-5xy+6y^2=2$$
Разложим левую часть на множители:
$$x^2-5xy+6y^2=(x-2y)(x-3y).$$
Тогда
$$(x-2y)(x-3y)=2.$$
Так как числа целые, рассмотрим разложения числа $$2$$ на множители:
$$2=1\cdot 2=(-1)\cdot(-2)=2\cdot 1=(-2)\cdot(-1).$$
Получаем четыре системы:
$$\begin{cases} x-2y=1,\\ x-3y=2 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$y=-1.$$
Тогда $$x-2(-1)=1,$$ откуда $$x=-1.$$
$$\begin{cases} x-2y=2,\\ x-3y=1 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$y=1.$$
Тогда $$x-2\cdot 1=2,$$ откуда $$x=4.$$
$$\begin{cases} x-2y=-1,\\ x-3y=-2 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$y=1.$$
Тогда $$x-2\cdot 1=-1,$$ откуда $$x=1.$$
$$\begin{cases} x-2y=-2,\\ x-3y=-1 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$y=-1.$$
Тогда $$x-2(-1)=-2,$$ откуда $$x=-4.$$
Итак, решения: $$(-1;-1),\ (4;1),\ (1;1),\ (-4;-1).$$
б) $$x^2+2xy-8y^2=7$$
Разложим левую часть на множители:
$$x^2+2xy-8y^2=(x+4y)(x-2y).$$
Тогда
$$(x+4y)(x-2y)=7.$$
Так как $$7$$ — простое число, возможны только разложения:
$$7=1\cdot 7=(-1)\cdot(-7)=7\cdot 1=(-7)\cdot(-1).$$
Получаем четыре системы:
$$\begin{cases} x+4y=1,\\ x-2y=7 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$6y=-6,\quad y=-1.$$
Тогда $$x+4(-1)=1,$$ откуда $$x=5.$$
$$\begin{cases} x+4y=7,\\ x-2y=1 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$6y=6,\quad y=1.$$
Тогда $$x+4\cdot 1=7,$$ откуда $$x=3.$$
$$\begin{cases} x+4y=-1,\\ x-2y=-7 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$6y=6,\quad y=1.$$
Тогда $$x+4\cdot 1=-1,$$ откуда $$x=-5.$$
$$\begin{cases} x+4y=-7,\\ x-2y=-1 \end{cases}$$
Вычитаем второе уравнение из первого:
$$6y=-6,\quad y=-1.$$
Тогда $$x+4(-1)=-7,$$ откуда $$x=-3.$$
Итак, решения: $$(-5;1),\ (3;1),\ (-3;-1),\ (5;-1).$$
Ответ
а) $$(-1;-1),\ (4;1),\ (1;1),\ (-4;-1)$$; б) $$(-5;1),\ (3;1),\ (-3;-1),\ (5;-1).$$
