Упр.57.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) совокупность $$(x+3)^3\geq 27$$, $$4x-1<12x$$; б) совокупность $$(x+3)(x^2-3x+9)<54$$, $$x^2-9>0$$.

а) Рассмотрим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} (x+3)^3 \ge 27,\\ 4x-1<12x. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$(x+3)^3 \ge 27 \;\Rightarrow\; x+3 \ge 3 \;\Rightarrow\; x \ge 0.$$

Второе неравенство:

$$4x-1<12x \;\Rightarrow\; -1<8x \;\Rightarrow\; x>-\frac18.$$

Для совокупности достаточно выполнения хотя бы одного из неравенств, значит

$$x>-\frac18.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac18;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} (x+3)(x^2-3x+9)<54,\\ x^2-9>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$(x+3)(x^2-3x+9)<54 \;\Rightarrow\; x^3+27<54 \;\Rightarrow\; x^3<27 \;\Rightarrow\; x<3.$$

Второе неравенство:

$$x^2-9>0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+3)>0 \;\Rightarrow\; x<-3 \;\text{или}\; x>3.$$

Для совокупности достаточно выполнения хотя бы одного из неравенств, поэтому

$$x<3 \;\text{или}\; x<-3 \;\text{или}\; x>3.$$

Это равносильно

$$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$