Упр.57.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\-3x<9;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0,\\x^2<25.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\ -3x<9. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\dfrac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$

$$\dfrac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$

Так как $$\,(x+2)^2>0\,$$ при $$x\ne -2,$$ то достаточно решить числитель:

$$x^2+2x-24<0$$

$$(x+6)(x-4)<0$$

Отсюда:

$$-6<x<4.$$

Второе неравенство:

$$-3x<9 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

С учётом ОДЗ $$x\ne -2$$ получаем:

$$x\in(-3;-2)\cup(-2;4).$$

Ответ: $$x\in(-3;-2)\cup(-2;4).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0,\\ x^2<25. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0$$

Так как $$\,(x-4)^2>0\,$$ при $$x\ne 4,$$ то нужно решить:

$$x^2-1{,}5x-7>0.$$

Умножим на $$2$$:

$$2x^2-3x-14>0$$

$$(2x+4)(x-3{,}5)>0$$

или

$$(x+2)(x-3{,}5)>0.$$

Отсюда:

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3{,}5.$$

Второе неравенство:

$$x^2<25 \quad \Rightarrow \quad -5<x<5.$$

С учётом ОДЗ $$x\ne 4$$ получаем пересечение:

$$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5).$$

Ответ: $$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5).$$