Упр.57.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$x^35-15x$$;
2. б) $$\frac{x+5}{x-7}<1,\quad \frac{3x+4}{4x-2}>-1$$.

а) Рассмотрим каждое неравенство системы отдельно.

$$x^3<x$$

$$x^3-x<0$$

$$x(x^2-1)<0$$

$$x(x-1)(x+1)<0$$

Отсюда

$$x<-1 \text{ или } 0<x<1.$$

Второе неравенство:

$$3x^2-x>5-15x$$

$$3x^2+14x-5>0$$

$$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256$$

$$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$

$$x_1=-5,\qquad x_2=\frac13.$$

Тогда

$$3x^2+14x-5=(3x-1)(x+5)>0,$$

откуда

$$x<-5 \text{ или } x>\frac13.$$

Пересекаем решения двух неравенств:

$$\left(x<-1 \text{ или } 0<x<1\right)\cap\left(x<-5 \text{ или } x>\frac13\right).$$

Получаем

$$x<-5 \text{ или } \frac13<x<1.$$

б) Решим систему неравенств.

Первое неравенство:

$$\frac{x+5}{x-7}<1$$

$$\frac{x+5-(x-7)}{x-7}<0$$

$$\frac{12}{x-7}<0,$$

значит

$$x<7.$$

Второе неравенство:

$$\frac{3x+4}{4x-2}>-1$$

$$\frac{3x+4+(4x-2)}{4x-2}>0$$

$$\frac{7x+2}{4x-2}>0.$$

Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12.$$

Отсюда

$$x<-\frac27 \text{ или } x>\frac12.$$

Пересекаем с условием $$x<7$$:

$$x<-\frac27 \text{ или } \frac12<x<7.$$

Ответ

а) $$x<-5 \text{ или } \frac13<x<1.$$

б) $$x<-\frac27 \text{ или } \frac12<x<7.$$