Упр.57.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$6\log_{3}|x-1|\leq 14+2x-x^2$$; б) $$\log_{2}(x^2+x-10)>25-2x-2x^2$$.
а) Преобразуем неравенство:
$$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$
$$3\cdot 2\log_3|x-1|\le 15-(x^2-2x+1)$$
$$3\log_3(x-1)^2\le 15-(x-1)^2$$
Пусть $$y=(x-1)^2,$$ тогда
$$3\log_3 y\le 15-y,$$
где $$y>0.$$
Рассмотрим функции $$f(y)=3\log_3 y$$ и $$g(y)=15-y.$$ Первая возрастает при $$y>0,$$ вторая убывает при $$y>0.$$
Найдём точку пересечения:
$$3\log_3 9=3\cdot 2=6,\qquad 15-9=6.$$
Значит, неравенство выполняется при
$$0<y\le 9.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$0<(x-1)^2\le 9.$$
Отсюда
$$-3\le x-1<0 \quad \text{или} \quad 0<x-1\le 3,$$
то есть
$$-2\le x<1 \quad \text{или} \quad 1<x\le 4.$$
б) Рассмотрим неравенство:
$$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2$$
Пусть $$y=x^2+x-10,$$ тогда
$$25-2x-2x^2=5-2y.$$
Получаем
$$\log_2 y>5-2y,$$
где $$y>0.$$
Функция $$f(y)=\log_2 y$$ возрастает при $$y>0,$$ а функция $$g(y)=5-2y$$ убывает при $$y>0.$$
Найдём точку пересечения:
$$\log_2 2=1,\qquad 5-2\cdot 2=1.$$
Следовательно, неравенство выполняется при
$$y>2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2+x-10>2,$$
$$x^2+x-12>0,$$
$$(x+4)(x-3)>0.$$
Отсюда
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Ответ
а) $$x\in[-2;1)\cup(1;4].$$
б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty).$$
