Упр.57.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2$$; б) $$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

а)

$$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2$$

Чтобы выражение под корнем было определено, нужно:

$$\sin x-1\ge 0,$$

то есть

$$\sin x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях

$$\sqrt{\sin x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$

Тогда неравенство сводится к

$$0\le 4-x^2,$$

то есть

$$x^2\le 4,$$

$$-2\le x\le 2.$$

Из всех значений вида $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому промежутку принадлежит только

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

б)

$$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49$$

Для существования корня нужно:

$$\cos x-1\ge 0,$$

то есть

$$\cos x=1,$$

откуда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях

$$\sqrt{\cos x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$

Тогда получаем неравенство

$$0\ge x^2-49,$$

то есть

$$x^2\le 49,$$

$$-7\le x\le 7.$$

Из чисел вида $$x=2\pi n$$ этому промежутку принадлежат

$$x=0,\ \pm 2\pi.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x\in\{0,\pm 2\pi\}.$$