Упр.57.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$(x^2-2x)\left(\operatorname{tg}^2 x+2^{x+1}\right)\leq 0$$;
б) $$(x^2+4x)\left(\operatorname{ctg}^2 x+3^{x-1}\right)\leq 0$$.

а) Так как $$\tg^2 x \ge 0$$ и $$2^{x+1} > 0$$ при любых допустимых значениях $$x$$, то

$$\tg^2 x + 2^{x+1} > 0.$$

Тогда неравенство

$$\left(x^2-2x\right)\left(\tg^2 x+2^{x+1}\right)\le 0$$

равносильно системе

$$\begin{cases} x^2-2x\le 0,\\ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{cases}$$

Решаем первое неравенство:

$$x(x-2)\le 0,$$

откуда

$$0\le x\le 2.$$

Исключаем точки, в которых не определён тангенс: $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$

На отрезке $$[0;2]$$ это даёт

$$x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\pi}{2};2\right].$$

б) Аналогично, $$\ctg^2 x\ge 0$$ и $$3^{x-1}>0$$, значит

$$\ctg^2 x+3^{x-1}>0.$$

Тогда

$$\left(x^2+4x\right)\left(\ctg^2 x+3^{x-1}\right)\le 0$$

равносильно системе

$$\begin{cases} x^2+4x\le 0,\\ x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{cases}$$

Решаем первое неравенство:

$$x(x+4)\le 0,$$

откуда

$$-4\le x\le 0.$$

Исключаем точки, в которых не определён котангенс: $$x\ne \pi n.$$

На отрезке $$[-4;0]$$ это даёт

$$x\in [-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$

Ответ

а) $$x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\pi}{2};2\right].$$

б) $$x\in [-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$