Упр.57.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$(x+3)\log_{\frac{1}{7}}x<0$$; б) $$(x-5)\sqrt{x+1}<0$$; в) $$\frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0$$; г) $$x\sqrt{x+7}<0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(x+3\right)\log_{\frac17}x<0.$$

Произведение отрицательно, если множители разных знаков:

1. $$x+3>0,\quad \log_{\frac17}x<0.$$
2. $$x+3<0,\quad \log_{\frac17}x>0.$$

Так как основание логарифма $$\frac17<1,$$ то

$$\log_{\frac17}x<0 \iff x>1,\qquad \log_{\frac17}x>0 \iff 0<x<1.$$

Тогда

$$x>-3,\ x>1 \;\Rightarrow\; x>1,$$

а во втором случае

$$x<-3,\ 0<x<1,$$

что невозможно.

Следовательно, $$x\in(1;+\infty).$$

б) Решим неравенство $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0.$$

Область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Чтобы произведение было отрицательным, нужно:

$$x-5<0,\quad \sqrt{x+1}>0.$$

Отсюда

$$x<5,\quad x>-1.$$

Значит,

$$x\in(-1;5).$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0.$$

Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака:

1. $$e^{3x-1}-1>0,\quad x+8>0.$$
2. $$e^{3x-1}-1<0,\quad x+8<0.$$

Так как функция экспоненты возрастает, то

$$e^{3x-1}-1>0 \iff e^{3x-1}>1 \iff 3x-1>0 \iff x>\frac13,$$

$$e^{3x-1}-1<0 \iff x<\frac13.$$

Тогда получаем:

$$x>\frac13,\quad x>-8 \;\Rightarrow\; x>\frac13,$$

и

$$x<\frac13,\quad x<-8 \;\Rightarrow\; x<-8.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$

г) Решим неравенство $$x\sqrt{x+7}<0.$$

Область определения: $$x+7\ge 0,\quad x\ge -7.$$

Произведение отрицательно, если

$$x<0,\quad \sqrt{x+7}>0.$$

Отсюда

$$x<0,\quad x>-7.$$

Значит,

$$x\in(-7;0).$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty);$$ б) $$x\in(-1;5);$$ в) $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right);$$ г) $$x\in(-7;0).$$