Упр.57.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством:
   а) $$\lg(x^2+9)>\lg(2x^2+4)$$;
   б) $$1{,}4^{7x-9}\leqslant1{,}4^{x^2-6}$$;
   в) $$\sqrt[5]{4x-9}\geqslant\sqrt[5]{7x+9}$$;
   г) $$\log_{0{,}2}(16x^2+8)<\log_{0{,}2}(x^2+1)$$.

Используем свойство монотонности логарифмической и показательной функций.

1. $$\lg(x^2+9)>\lg(2x^2+4)$$

   Так как основание логарифма $$10>1$$, то знак неравенства сохраняется. При этом аргументы логарифмов должны быть положительными:

   $$x^2+9>0,\quad 2x^2+4>0.$$

   Оба условия выполняются при любых $$x\in\mathbb{R}$$. Поэтому равносильное рациональное неравенство:

   $$x^2+9>2x^2+4.$$

2. $$1{,}4^{\,7x-9}\le 1{,}4^{\,x^2-6}$$

   Так как основание $$1{,}4>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$7x-9\le x^2-6.$$

3. $$\sqrt[5]{4x-9}\ge \sqrt[5]{7x+9}$$

   Пятая степень — возрастающая функция, значит можно возвести обе части в пятую степень:

   $$4x-9\ge 7x+9.$$

4. $$\log_{0{,}2}(16x^2+8)<\log_{0{,}2}(x^2+1)$$

   Так как основание логарифма $$0{,}2<1$$, знак неравенства меняется на противоположный. Область определения:

   $$16x^2+8>0,\quad x^2+1>0.$$

   Оба условия выполняются при любых $$x\in\mathbb{R}$$. Поэтому получаем:

   $$16x^2+8>x^2+1.$$

Ответ:

а) $$x^2+9>2x^2+4$$;

б) $$7x-9\le x^2-6$$;

в) $$4x-9\ge 7x+9$$;

г) $$16x^2+8>x^2+1$$.