Упр.57.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$(2^x-3)(3x-4)\leq 0$$; б) $$(3\log_3 x-1)(3x-4)\geq 0$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$\left(2^x-3\right)\left(3x-4\right)\le 0.$$

Произведение не положительно, если множители разных знаков или один из них равен нулю. Получаем две системы:

$$\begin{cases} 2^x-3\ge 0,\\ 3x-4\le 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2^x-3\le 0,\\ 3x-4\ge 0 \end{cases}$$

Решим их:

$$\begin{cases} 2^x\ge 3,\\ x\le \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \log_2 3,\\ x\le \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \varnothing,$$

так как $$\log_2 3>\dfrac{4}{3}.$$

Вторая система:

$$\begin{cases} 2^x\le 3,\\ x\ge \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\le \log_2 3,\\ x\ge \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{4}{3}\le x\le \log_2 3.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\dfrac{4}{3};\log_2 3\right].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3\log_3 x-1\right)\left(3x-4\right)\ge 0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Произведение неотрицательно, если множители одного знака. Получаем две системы:

$$\begin{cases} 3\log_3 x-1\ge 0,\\ 3x-4\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 3\log_3 x-1\le 0,\\ 3x-4\le 0 \end{cases}$$

Решим первую систему:

$$\begin{cases} \log_3 x\ge \dfrac{1}{3},\\ x\ge \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \sqrt[3]{3},\\ x\ge \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow x\ge \sqrt[3]{3}.$$

Вторая система:

$$\begin{cases} \log_3 x\le \dfrac{1}{3},\\ x\le \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0<x\le \sqrt[3]{3},\\ x\le \dfrac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow 0<x\le \dfrac{4}{3}.$$

Объединяя решения, получаем:

$$x\in\left(0;\dfrac{4}{3}\right]\cup\left[\sqrt[3]{3};+\infty\right).$$