Упр.57.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$(x-2)\log_4(x+2)\ge 0$$; б) $$(3-x)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(x-2\right)\log_4(x+2)\ge 0.$$

Чтобы произведение было неотрицательным, нужно, чтобы множители имели одинаковые знаки.

1) Оба множителя неотрицательны:

$$\begin{cases} x-2\ge 0,\\ \log_4(x+2)\ge 0. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$\log_4(x+2)\ge 0 \iff x+2\ge 1 \iff x\ge -1.$$

Тогда получаем:

$$\begin{cases} x\ge 2,\\ x\ge -1 \end{cases} \Rightarrow x\ge 2.$$

2) Оба множителя неположительны:

$$\begin{cases} x-2\le 0,\\ \log_4(x+2)\le 0. \end{cases}$$

Из второго неравенства:

$$\log_4(x+2)\le 0 \iff 0<x+2\le 1 \iff -2<x\le -1.$$

Совмещая с $$x\le 2,$$ получаем:

$$-2<x\le -1.$$

Объединяя оба случая, имеем:

$$x\in(-2;-1]\cup[2;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3-x\right)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0.$$

Для существования корня нужно:

$$\log_3(x+5)\ge 0.$$

Так как $$3>1,$$ то

$$\log_3(x+5)\ge 0 \iff x+5\ge 1 \iff x\ge -4.$$

Кроме того, при $$\log_3(x+5)=0$$ корень равен нулю, и неравенство выполняется. Это даёт:

$$x+5=1 \iff x=-4.$$

Если же $$\log_3(x+5)>0,$$ то корень положителен, и нужно, чтобы

$$3-x\le 0 \iff x\ge 3.$$

Итак, получаем два случая:

$$x=-4 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Следовательно,

$$x\in\{-4\}\cup[3;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-2;-1]\cup[2;+\infty)$$; б) $$x\in\{-4\}\cup[3;+\infty).$$