Упр.57.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot2^{\sqrt{x}}+8<0$$; б) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot3^{\sqrt{x}}+9<0$$.

Положим в каждом пункте новую переменную.

а)

$$4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8<0$$

Так как $$4^{\sqrt{x}}=(2^2)^{\sqrt{x}}=2^{2\sqrt{x}},$$ сделаем замену:

$$t=2^{\sqrt{x}}, \quad t>0.$$

Тогда получаем:

$$t^2-9t+8<0$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-8)<0$$

Отсюда

$$1<t<8.$$

Возвращаемся к замене:

$$1<2^{\sqrt{x}}<8.$$

Так как $$1=2^0,\quad 8=2^3,$$ то

$$0<\sqrt{x}<3.$$

Следовательно,

$$0<x<9.$$

б)

$$9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0$$

Так как $$9^{\sqrt{x}}=(3^2)^{\sqrt{x}}=3^{2\sqrt{x}},$$ сделаем замену:

$$t=3^{\sqrt{x}}, \quad t>0.$$

Тогда:

$$t^2-10t+9<0$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-9)<0$$

Отсюда

$$1<t<9.$$

Возвращаемся к замене:

$$1<3^{\sqrt{x}}<9.$$

Так как $$1=3^0,\quad 9=3^2,$$ то

$$0<\sqrt{x}<2.$$

Следовательно,

$$0<x<4.$$

Ответ

а) $$x\in(0;9)$$; б) $$x\in(0;4).$$