Упр.57.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$9^{x+2}+4\cdot3^{2x+2}\geq 4\frac{1}{3}$$;
   б) $$8^{x-2}+3\cdot2^{3x-2}\leq 24\frac{1}{2}$$.

а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}\ge 4\tfrac13$$

Преобразуем правую часть и основания степеней:

$$9^{x+2}=3^{2x+4}, \qquad 4\tfrac13=\frac{13}{3}.$$

Тогда

$$3^{2x+4}+4\cdot 3^{2x+2}\ge \frac{13}{3}.$$

Вынесем общий множитель $$3^{2x}$$:

$$3^{2x}\cdot 3^4+4\cdot 3^{2x}\cdot 3^2\ge \frac{13}{3}$$

$$3^{2x}(81+36)\ge \frac{13}{3}$$

$$117\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}.$$

Делим на $$117$$:

$$3^{2x}\ge \frac{13}{351}=\frac{1}{27}=3^{-3}.$$

Так как основание $$3>1$$, получаем

$$2x\ge -3,$$

$$x\ge -\frac32.$$

б) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}\le 24\tfrac12$$

Преобразуем:

$$8^{x-2}=2^{3x-6}, \qquad 24\tfrac12=\frac{49}{2}, \qquad 2^{3x-2}=\frac{2^{3x}}{4}.$$

Тогда

$$2^{3x-6}+3\cdot 2^{3x-2}\le \frac{49}{2}$$

$$\frac{2^{3x}}{64}+\frac{3\cdot 2^{3x}}{4}\le \frac{49}{2}$$

$$2^{3x}\left(\frac{1}{64}+\frac{3}{4}\right)\le \frac{49}{2}$$

$$2^{3x}\cdot \frac{49}{64}\le \frac{49}{2}.$$

Делим на $$\frac{49}{64}$$:

$$2^{3x}\le 32=2^5.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем

$$3x\le 5,$$

$$x\le \frac53.$$

Ответ: а) $$x\in\left[-\frac32;+\infty\right)$$; б) $$x\in\left(-\infty;\frac53\right].$$