Упр.57.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$x^2+1\ge\cos x$$; б) $$\sin x\le-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$; в) $$x^2+1\le\cos x$$; г) $$\sin x\ge-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$.

Рассмотрим каждое неравенство как сравнение двух функций.

1. $$x^2+1\ge \cos x$$

   Функция $$y=x^2+1$$ принимает значения не меньше $$1$$, так как $$x^2\ge 0$$. Функция $$y=\cos x$$ принимает значения не больше $$1$$:

   $$x^2+1\ge 1\ge \cos x.$$

   Значит, неравенство верно при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

2. $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Функция $$y=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$ принимает наибольшее значение при $$x=-\frac{\pi}{2}$$ и это значение равно $$-1$$. При этом $$\sin x\ge -1$$ для всех $$x$$.

   Следовательно, равенство возможно только при

   $$\sin x=-1,\qquad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1.$$

   Из второго равенства получаем $$x=-\frac{\pi}{2}$$, и при этом действительно $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$$.

3. $$x^2+1\le \cos x$$

   Так как $$x^2+1\ge 1$$, а $$\cos x\le 1$$, то неравенство возможно только при

   $$x^2+1=1,\qquad \cos x=1.$$

   Отсюда $$x=0$$.

4. $$\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Так как $$\sin x\ge -1$$, а

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1,$$

   то неравенство выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Ответ: а) $$x\in \mathbb{R}$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=0$$; г) $$x\in \mathbb{R}$$.