Упр.57.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\log_2 x < 6-x$$; б) $$\log_3 x \geq x^3$$; в) $$\log_2 x \geq 6-x$$; г) $$\log_3 x < x^3$$.

Рассмотрим каждое неравенство по графикам соответствующих функций.

а)

$$\log_2 x<6-x$$

Область определения: $$x>0.$$

Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а функция $$y=6-x$$ убывает. Точка их пересечения находится из равенства

$$\log_2 x=6-x.$$

Проверим значение $$x=4$$:

$$\log_2 4=2,\qquad 6-4=2.$$

Значит, графики пересекаются при $$x=4$$. Так как требуется $$\log_2 x<6-x$$, то берём значения левее точки пересечения:

$$0<x<4.$$

б)

$$\log_3 x\ge x^3$$

Область определения: $$x>0.$$

Рассмотрим функции $$y=\log_3 x$$ и $$y=x^3$$. При $$x>0$$ первая функция возрастает медленно, а вторая быстро возрастает. Проверим возможную точку пересечения:

$$x=1:\quad \log_3 1=0,\qquad 1^3=1,$$

$$x=3:\quad \log_3 3=1,\qquad 3^3=27.$$

Из графика видно, что $$\log_3 x<x^3$$ при всех $$x>0$$, поэтому решений нет.

в)

$$\log_2 x\ge 6-x$$

Область определения: $$x>0.$$

Точка пересечения та же: $$x=4$$, так как

$$\log_2 4=2,\qquad 6-4=2.$$

Теперь нужно взять значения, где $$\log_2 x$$ не меньше $$6-x$$, то есть справа от точки пересечения:

$$x\ge 4.$$

г)

$$\log_3 x<x^3$$

Область определения: $$x>0.$$

На всей области определения график функции $$y=\log_3 x$$ расположен ниже графика $$y=x^3$$, значит неравенство выполняется при всех допустимых значениях $$x$$:

$$x>0.$$

Ответ: а) $$0<x<4$$; б) $$\varnothing$$; в) $$x\ge 4$$; г) $$x>0$$.