Упр.57.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы: а) $$3^x>12-1{,}5x$$; б) $$2^x>\sqrt{x}$$; в) $$3^x\leq12-1{,}5x$$; г) $$2^x\leq\sqrt{x}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=3^x$$ и $$g=12-1{,}5x.$$

Функция $$y=3^x$$ возрастает при всех $$x\in \mathbb{R},$$ а функция $$g=12-1{,}5x$$ убывает при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Найдём точку их пересечения:

$$3^2=9,\qquad 12-1{,}5\cdot 2=12-3=9.$$

Значит, графики пересекаются при $$x=2.$$ Так как первая функция возрастает, а вторая убывает, то неравенство $$3^x>12-1{,}5x$$ выполняется при

$$x>2.$$

б) Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\sqrt{x}.$$

Область определения выражения $$\sqrt{x}$$: $$x\ge 0.$$

Сравним значения функций при $$x\ge 0.$$ При $$x=0$$ имеем:

$$2^0=1,\qquad \sqrt{0}=0,$$

а при дальнейшем увеличении $$x$$ функция $$2^x$$ растёт быстрее, чем $$\sqrt{x}.$$ Следовательно, неравенство $$2^x>\sqrt{x}$$ выполняется при всех $$x\ge 0.$$

Значит,

$$x\in [0;+\infty).$$

в) Для неравенства $$3^x\le 12-1{,}5x$$ рассуждение аналогично пункту а).

Графики функций $$y=3^x$$ и $$g=12-1{,}5x$$ пересекаются при $$x=2,$$ а затем экспонента становится больше прямой. Поэтому неравенство выполняется слева от точки пересечения:

$$x\le 2.$$

г) Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

При $$x=0$$ получаем $$2^0=1>0=\sqrt{0},$$ а при $$x>0$$ экспоненциальная функция $$2^x$$ остаётся выше функции $$\sqrt{x}.$$ Точек пересечения нет, значит неравенство $$2^x\le \sqrt{x}$$ решений не имеет.