Упр.57.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\sin^2 x-3\sin x+1\leq 0$$; б) $$\cos^2 x-5\cos x+4\leq 0$$.

Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда неравенство

$$2\sin^2 x-3\sin x+1\le 0$$

примет вид

$$2y^2-3y+1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$2y^2-3y+1=(2y-1)(y-1).$$

Тогда

$$(2y-1)(y-1)\le 0,$$

откуда

$$\frac12\le y\le 1.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$\frac12\le \sin x\le 1.$$

Это означает, что

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$\cos^2 x-5\cos x+4\le 0$$

переходит в

$$y^2-5y+4\le 0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-5y+4=(y-1)(y-4).$$

Получаем

$$(y-1)(y-4)\le 0,$$

откуда

$$1\le y\le 4.$$

Но $$\cos x\in[-1;1]$$, значит возможно только

$$\cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$