Упр.57.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2^2(x-1)+3\log_2(x-1)+2\geq 0$$; б) $$9^{\log_{0{,}1}x}-4\cdot3^{\log_{0{,}1}x}+0{,}1^{\log_{0{,}1}3}<0$$.

а) Сделаем замену:

$$t=\log_2(x-1).$$

Тогда получаем неравенство

$$t^2+3t+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(t+2)(t+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge -1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2(x-1)\le -2 \quad \text{или} \quad \log_2(x-1)\ge -1.$$

Так как $$x-1>0,$$ то

$$x-1\le 2^{-2}=\frac14 \quad \text{или} \quad x-1\ge 2^{-1}=\frac12.$$

Следовательно,

$$1<x\le \frac54 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$

б) Перепишем выражение:

$$9^{\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}3}<0.$$

Так как $$9=3^2,$$ а $$0,1=\frac1{10},$$ то

$$3^{2\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+3<0.$$

Сделаем замену:

$$t=3^{\log_{0,1}x}.$$

Тогда

$$t^2-4t+3<0,$$

$$(t-1)(t-3)<0,$$

откуда

$$1<t<3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1<3^{\log_{0,1}x}<3.$$

Так как функция $$3^u$$ возрастает, получаем

$$0<\log_{0,1}x<1.$$

Основание $$0,1<1,$$ значит при переходе к $$x$$ знаки неравенств меняются:

$$0,1<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in\left(1;\frac54\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right);$$ б) $$x\in(0,1;1).$$