Упр.57.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_2^2 x-7\log_2 x+12<0$$; б) $$3\log_{\frac{1}{2}}^2 x-10\log_{\frac{1}{3}}x+3\geq 0$$.

Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда область определения: $$x>0.$$

а)

Получаем неравенство

$$y^2-7y+12<0.$$

Разложим на множители:

$$(y-3)(y-4)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями, значит

$$3<y<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3<\log_2 x<4.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ получаем

$$2^3<x<2^4,$$

то есть

$$8<x<16.$$

б)

Пусть $$y=\log_{\frac13} x.$$ Тогда

$$3y^2-10y+3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(3y-1)(y-3)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le \frac13 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{\frac13} x\le \frac13 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x\ge 3.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x\ge \left(\frac13\right)^{\frac13}=\frac1{\sqrt[3]{3}}$$

или

$$x\le \left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(8;16).$$
б) $$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$