Упр.57.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Являются ли равносильными неравенства:
а) $$\sin x+2\log_3 x>20$$ и $$\sin x>20-2\log_3 x$$;
б) $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}\ge1$$ и $$\sin x\ge\sqrt{x^2+1}$$;
в) $$13-13^{x^2-4}\ge10^x$$ и $$13\ge10^x+13^{x^2-4}$$;
г) $$10^{4x-1}\cdot\lg(x^2-4)<0$$ и $$\lg(x^2-4)<0$$?
а) Перенесём слагаемое $$2\log_3 x$$ в правую часть:
$$\sin x+2\log_3 x>20 \iff \sin x>20-2\log_3 x.$$
Неравенства равносильны.
б) В первом неравенстве знаменатель положителен при всех $$x$$, так как
$$\sqrt{x^2+1}>0.$$
Поэтому можно умножить обе части на $$\sqrt{x^2+1}$$, не меняя знак неравенства:
$$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}\ge 1 \iff \sin x\ge \sqrt{x^2+1}.$$
Неравенства равносильны.
в) Перенесём слагаемое $$13^{x^2-4}$$ в правую часть:
$$13-13^{x^2-4}\ge 10^x \iff 13\ge 10^x+13^{x^2-4}.$$
Неравенства равносильны.
г) Множитель $$10^{4x-1}$$ положителен при любых $$x$$:
$$10^{4x-1}>0.$$
Значит, можно разделить обе части первого неравенства на этот множитель, не меняя знак неравенства:
$$10^{4x-1}\cdot \lg(x^2-4)<0 \iff \lg(x^2-4)<0.$$
Неравенства равносильны.
Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.
