Упр.57.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^x+3^{-x+1}\le 4$$; б) $$25^{-x}-50>5^{-x+1}$$.

а) Сделаем замену: $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$

Имеем:

$$3^x+3^{-x+1}\le 4$$

$$3^x+\frac{3}{3^x}\le 4$$

$$t+\frac{3}{t}\le 4$$

Умножим на $$t>0$$:

$$t^2-4t+3\le 0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)\le 0$$

Отсюда

$$1\le t\le 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1\le 3^x\le 3$$

$$3^0\le 3^x\le 3^1$$

Значит,

$$0\le x\le 1.$$

Ответ: $$x\in[0;1].$$

б) Сделаем замену: $$t=5^{-x},$$ тогда $$t>0.$$

Преобразуем неравенство:

$$25^{-x}-50>5^{-x+1}$$

$$\left(5^2\right)^{-x}-50>5\cdot 5^{-x}$$

$$5^{-2x}-50>5\cdot 5^{-x}$$

$$t^2-50>5t$$

$$t^2-5t-50>0$$

$$\left(t+5\right)\left(t-10\right)>0$$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$t>10.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$5^{-x}>10$$

$$5^x<\frac{1}{10}=0{,}1$$

Так как основание $$5>1,$$ то

$$x<\log_5 0{,}1.$$

Ответ: $$x<\log_5 0{,}1.$$