Упр.57.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2>0$$; б) $$\sqrt[5]{x}-6\sqrt[10]{x}+8<0$$.

Пусть $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2,$$ и неравенство

$$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2>0$$

примет вид

$$t^2-t-2>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0.$$

Отсюда $$t<-1$$ или $$t>2.$$

Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ то подходит только

$$\sqrt[6]{x}>2.$$

Тогда

$$x>2^6=64.$$

Ответ: $$x\in(64;+\infty).$$

Пусть $$t=\sqrt[10]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[5]{x}=t^2,$$ и неравенство

$$\sqrt[5]{x}-6\sqrt[10]{x}+8<0$$

примет вид

$$t^2-6t+8<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-2\right)\left(t-4\right)<0.$$

Отсюда

$$2<t<4.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$2<\sqrt[10]{x}<4.$$

Возводим все части в 10-ю степень:

$$2^{10}<x<4^{10}.$$

Так как $$4^{10}=\left(2^2\right)^{10}=2^{20},$$ получаем

Ответ: $$x\in\left(2^{10};2^{20}\right).$$