Упр.57.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$;
б) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$.
а) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$
$$3\cdot 3^x\cdot \frac{2}{2^x}+3^x\cdot \frac{1}{2^x}\le 10{,}5$$
$$6\left(\frac{3}{2}\right)^x+\left(\frac{3}{2}\right)^x\le 10{,}5$$
Сделаем замену: $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x.$$ Тогда
$$6t+t\le 10{,}5$$
$$7t\le 10{,}5$$
$$t\le 1{,}5$$
Возвращаемся к исходной переменной:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x\le 1{,}5=\frac{3}{2}$$
Так как основание $$\frac{3}{2}>1$$, получаем
$$x\le 1$$
Ответ: $$x\in(-\infty;1]$$.
б) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$
$$2^x\cdot 5\cdot 5^{-x}+2\cdot 2^x\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$
$$5\left(\frac{2}{5}\right)^x+2\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 2{,}8$$
Сделаем замену: $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x.$$ Тогда
$$5t+2t\ge 2{,}8$$
$$7t\ge 2{,}8$$
$$t\ge 0{,}4$$
Возвращаемся к исходной переменной:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 0{,}4=\frac{2}{5}$$
Так как основание $$\frac{2}{5}<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:
$$x\le 1$$
Ответ: $$x\in(-\infty;1]$$.
