Упр.57.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство методом введения новой переменной: а) $$3^{2x}-2\cdot3^x-3\geqslant0$$; б) $$2\cdot5^{2x}-5^x-1\leqslant0$$.

а) Сделаем замену: $$t=3^x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$t^2-2t-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+1\right)\left(t-3\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -1 \text{ или } t\ge 3.$$

Так как $$t=3^x>0,$$ то подходит только

$$3^x\ge 3.$$

Следовательно,

$$x\ge 1.$$

б) Сделаем замену: $$t=5^x.$$ Тогда получаем

$$2t^2-t-1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-\frac12\le t\le 1.$$

Но $$t=5^x>0,$$ значит

$$0<5^x\le 1.$$

Так как $$1=5^0,$$ то

$$x\le 0.$$

Ответ: а) $$x\in[1;+\infty);$$ б) $$x\in(-\infty;0].$$