Упр.57.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(3-3\log_{0,2}x\right)^{13}<\left(\log_{0,2}x+7\right)^{13}$$; б) $$\left(3\log_7x-24\right)^5>\left(2\log_7x-22\right)^5$$.

а) Так как показатель степени $$13$$ — нечётный, применяем теорему равносильности:

$$3-3\log_{0,2}x<\log_{0,2}x+7.$$

Перенесём слагаемые:

$$-4\log_{0,2}x<4,$$

$$\log_{0,2}x>-1.$$

Так как основание логарифма $$0{,}2<1$$, при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$x<0{,}2^{-1}=5.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

$$0<x<5.$$

б) Поскольку показатель степени $$5$$ — нечётный, имеем равносильное неравенство:

$$3\log_7 x-24>2\log_7 x-22.$$

Тогда

$$\log_7 x>2,$$

$$x>7^2=49.$$

С учётом области определения $$x>0$$ окончательно:

$$x>49.$$

Ответ: а) $$x\in(0;5)$$; б) $$x>49$$.