Упр.57.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(2^{x+1}+1\right)^6\ge\left(2^x+17\right)^6$$;
б) $$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10}\ge\left(0{,}1^x+103\right)^{10}$$.

Используем теорему равносильности: если основания степеней положительны, то из неравенства вида $$A^n \ge B^n$$ при чётном натуральном $$n$$ следует $$|A| \ge |B|$$, а в нашем случае основания положительны, значит можно сравнить сами выражения.

а)

$$\left(2^{x+1}+1\right)^6 \ge \left(2^x+17\right)^6$$

Так как основания степеней положительны, получаем:

$$2^{x+1}+1 \ge 2^x+17$$

$$2\cdot 2^x-2^x \ge 17-1$$

$$2^x \ge 16$$

$$2^x \ge 2^4$$

Следовательно,

$$x \ge 4$$

б)

$$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10} \ge \left(0{,}1^x+103\right)^{10}$$

Основания степеней положительны, значит:

$$2\cdot 0{,}1^x+3 \ge 0{,}1^x+103$$

$$2\cdot 0{,}1^x-0{,}1^x \ge 103-3$$

$$0{,}1^x \ge 100$$

$$10^{-x} \ge 10^2$$

$$-x \ge 2$$

$$x \le -2$$

Ответ: а) $$x \in [4;+\infty)$$; б) $$x \in (-\infty;-2]$$.