Упр.57.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(x^2-6x\right)^5 \geq (2x-7)^5$$; 6) $$\left(x^2-2x\right)^9 \leq \left(2x-x^2-2\right)^9$$.

а) Так как показатель степени $$5$$ — нечётный, то неравенство равносильно:

$$x^2-6x \ge 2x-7$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-8x+7 \ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$

Тогда

$$(x-1)(x-7)\ge 0$$

Отсюда

$$x\le 1 \text{ или } x\ge 7.$$

б) Аналогично, так как показатель степени $$9$$ — нечётный, получаем равносильное неравенство:

$$x^2-2x \le 2x-x^2-2$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2x^2-4x+2 \le 0$$

Разделим на $$2$$:

$$x^2-2x+1 \le 0$$

Разложим на квадрат двучлена:

$$(x-1)^2 \le 0$$

Квадрат числа неотрицателен, значит неравенство выполняется только при

$$x=1.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$; б) $$x=1$$.