Упр.57.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128}$$; б) $$0{,}5^{\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128}.$$

Представим правую часть в виде степени двойки:

$$\frac{1}{2}\sqrt{128}=2^{-1}\cdot 2^{\frac{7}{2}}=2^{\frac{5}{2}}.$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x+4}} \ge 2^{\frac{5}{2}}.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем

$$\sqrt{x+4}\ge \frac{5}{2}.$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x+4\ge \frac{25}{4},$$

$$x\ge \frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}.$$

С учётом области определения $$x+4\ge 0$$ получаем тот же результат.

Ответ: $$x\in\left[\frac{9}{4};+\infty\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$0{,}5^{\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}}\le 1.$$

Так как $$1=0{,}5^0,$$ а основание $$0{,}5\in(0;1),$$ то при сравнении степеней знак неравенства меняется:

$$\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\sin x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$