Упр.57.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\geq\log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)$$;
   б) $$\lg(5x^2-15x)\leq\lg(2x-6)$$.

а) Для логарифмов с основанием $$\frac{1}{\pi}$$, где $$0<\frac{1}{\pi}<1$$, функция убывает, поэтому при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)$$

равносильно системе

$$\begin{cases} 2x^2-5x>0,\\ 2x-3>0,\\ 2x^2-5x\le 2x-3. \end{cases}$$

Решим неравенства системы:

$$2x^2-5x=x(2x-5)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>\frac{5}{2}.$$

$$2x-3>0 \;\Rightarrow\; x>\frac{3}{2}.$$

$$2x^2-5x\le 2x-3$$

$$2x^2-7x+3\le 0$$

$$D=49-24=25,\quad x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{7+5}{4}=3.$$

Тогда

$$\frac12\le x\le 3.$$

Пересекаем все условия:

$$\left(x<0 \text{ или } x>\frac52\right)\cap \left(x>\frac32\right)\cap \left[\frac12,3\right]=\left(\frac52,3\right].$$

б) Так как основание $$10>1$$, логарифмическая функция возрастает, значит

$$\lg(5x^2-15x)\le \lg(2x-6)$$

равносильно системе

$$\begin{cases} 5x^2-15x>0,\\ 2x-6>0,\\ 5x^2-15x\le 2x-6. \end{cases}$$

Имеем:

$$5x^2-15x=5x(x-3)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>3,$$

$$2x-6>0 \;\Rightarrow\; x>3,$$

$$5x^2-15x\le 2x-6$$

$$5x^2-17x+6\le 0$$

$$D=289-120=169,\quad x_1=\frac{17-13}{10}=\frac25,\quad x_2=\frac{17+13}{10}=3.$$

Следовательно,

$$\frac25\le x\le 3.$$

Но вместе с условием $$x>3$$ это не даёт решений. Значит, решений нет.

Ответ

а) $$x\in\left(\frac52,3\right]$$; б) $$\varnothing$$.