Упр.57.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности: а) $$\log_{14}(x-1)\leq\log_{14}(2x+3)$$; б) $$\log_{0,3}(2x+1)<\log_{0,3}(x-3)$$.

а) Так как основание логарифма $$14>1,$$ то неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3>0,\\ x-1\le 2x+3. \end{cases}$$

Решаем по отдельности:

$$x>1,\qquad x>-\frac{3}{2},\qquad x\ge -4.$$

Пересечение этих условий:

$$x>1.$$

Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$

б) Так как основание логарифма $$0{,}3<1,$$ то знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$\begin{cases} 2x+1>0,\\ x-3>0,\\ 2x+1>x-3. \end{cases}$$

Решаем:

$$x>-\frac12,\qquad x>3,\qquad x>-4.$$

Пересечение этих условий:

$$x>3.$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty).$$