Упр.56.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$; б) $$\log_{1{,}2}(3x-1)+\log_{1{,}2}(3x+1)=\log_{1{,}2}8$$.

а) Область допустимых значений:

$$7x+9>0,\qquad 8-x>0$$

$$x>-\frac{9}{7},\qquad x<8$$

Значит, $$-\frac{9}{7}<x<8.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=1$$

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=\log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3}$$

$$\frac{7x+9}{8-x}=\frac{2}{3}$$

$$3(7x+9)=2(8-x)$$

$$21x+27=16-2x$$

$$23x=-11$$

$$x=-\frac{11}{23}$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $$-\frac{11}{23}$$

б) Область допустимых значений:

$$3x-1>0,\qquad 3x+1>0$$

$$x>\frac{1}{3},\qquad x>-\frac{1}{3}$$

Значит, $$x>\frac{1}{3}.$$

Решим уравнение:

$$\log_{1,2}(3x-1)+\log_{1,2}(3x+1)=\log_{1,2}8$$

$$\log_{1,2}\bigl((3x-1)(3x+1)\bigr)=\log_{1,2}8$$

$$(3x-1)(3x+1)=8$$

$$9x^2-1=8$$

$$9x^2=9$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=1.$$

Ответ: $$1$$