Упр.56.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(2^{2x}+16\right)^{20}=\left(10\cdot2^x\right)^{20}$$

б) $$\left(\log_{0,1}^{2}x-2\right)^{3}=\left(2\log_{0,1}x+1\right)^{3}$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(2^{2x}+16\right)^{20}=\left(10\cdot 2^x\right)^{20}.$$

Так как обе части неотрицательны, можно приравнять основания:

$$2^{2x}+16=10\cdot 2^x.$$

Сделаем замену $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда получаем

$$t^2+16=10t,$$

$$t^2-10t+16=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=8,\quad t_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3,$$

$$2^x=2=2^1 \Rightarrow x=1.$$

Оба значения подходят.

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\log_{0,1}^2 x-2\right)^3=\left(2\log_{0,1}x+1\right)^3.$$

Область допустимых значений: $$x>0.$$

Так как степени одинаковые, приравняем основания:

$$\log_{0,1}^2 x-2=2\log_{0,1}x+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\log_{0,1}^2 x-2\log_{0,1}x-3=0.$$

Сделаем замену $$t=\log_{0,1}x.$$ Тогда

$$t^2-2t-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Получаем

$$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{0,1}x=3 \Rightarrow x=0{,}1^3=0{,}001,$$

$$\log_{0,1}x=-1 \Rightarrow x=0{,}1^{-1}=10.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) $$1; 3$$; б) $$0{,}001; 10$$.