Упр.56.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2\left(x^2-4x+8\right)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}$$; б) $$\log_3\left(x^2+4x+13\right)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}$$.

а) Рассмотрим функции

$$y=\log_2(x^2-4x+8), \qquad g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Преобразуем логарифм:

$$x^2-4x+8=(x-2)^2+4,$$

значит,

$$y=\log_2\bigl((x-2)^2+4\bigr)\ge \log_2 4=2,$$

и равенство достигается при $$x=2.$$

Для правой части имеем

$$\sin\frac{5\pi x}{4}\le 1,\qquad -\cos\frac{\pi x}{2}\le 1,$$

поэтому

$$g\le 2.$$

Чтобы уравнение было верным, нужно одновременно

$$\sin\frac{5\pi x}{4}=1,\qquad \cos\frac{\pi x}{2}=-1.$$

Из второго равенства

$$\frac{\pi x}{2}=\pi+2\pi k,\qquad x=2+4k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Подставим в первое:

$$\sin\frac{5\pi(2+4k)}{4}=\sin\left(\frac{5\pi}{2}+5\pi k\right)=1.$$

Это выполняется при всех целых $$k,$$ но значение $$y=2$$ достигается только при $$x=2.$$

Следовательно, единственное решение:

$$x=2.$$

б) Рассмотрим функции

$$y=\log_3(x^2+4x+13), \qquad g=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$

Преобразуем логарифм:

$$x^2+4x+13=(x+2)^2+9,$$

значит,

$$y=\log_3\bigl((x+2)^2+9\bigr)\ge \log_3 9=2,$$

и равенство достигается при $$x=-2.$$

Для правой части

$$\cos\pi x\le 1,\qquad -\sin\frac{\pi x}{4}\le 1,$$

поэтому

$$g\le 2.$$

Чтобы уравнение было верным, нужно

$$\cos\pi x=1,\qquad \sin\frac{\pi x}{4}=-1.$$

Из первого равенства

$$\pi x=2\pi n,\qquad x=2n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго

$$\frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=-2+8k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Решаем систему:

$$2n=-2+8k \;\Rightarrow\; n=-1+4k.$$

При $$k=0$$ получаем $$x=-2.$$ Других значений, при которых обе функции одновременно равны 2, нет.

$$x=-2.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$-2$$.