Упр.56.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin \frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5$$; б) $$-\cos 7\pi x=x^2-6x+10$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sin \frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как $$\sin \frac{5\pi}{4}x\le 1,$$ а выражение $$(x-2)^2+1 \ge 1,$$ то равенство возможно только при

$$\sin \frac{5\pi}{4}x=1,\qquad (x-2)^2+1=1.$$

Из второго равенства получаем:

$$x=2.$$

Проверка:

$$\sin \frac{5\pi}{4}\cdot 2=\sin \frac{5\pi}{2}=1,$$

$$2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Значит, $$x=2.$$

б) Рассмотрим уравнение $$-\cos 7\pi x=x^2-6x+10.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-6x+10=(x-3)^2+1.$$

Так как $$-\cos 7\pi x\le 1,$$ а $$(x-3)^2+1 \ge 1,$$ то равенство возможно только при

$$-\cos 7\pi x=1,\qquad (x-3)^2+1=1.$$

Из второго равенства получаем:

$$x=3.$$

Проверка:

$$-\cos 7\pi\cdot 3=-\cos 21\pi=1,$$

$$3^2-6\cdot 3+10=1.$$

Значит, $$x=3.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$.