Упр.56.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\log_3(x^2-10x+40)=\log_3(4x-8)$$; б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x-2}{2x-4}\right)=\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_3(x^2-10x+40)=\log_3(4x-8).$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

$$x^2-10x+40=4x-8.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2-14x+48=0.$$

$$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4.$$

Тогда

$$x_1=\frac{14-2}{2}=6,\qquad x_2=\frac{14+2}{2}=8.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$6; 8.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{\sqrt{3}}\frac{x-2}{2x-4}=\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x+2}.$$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x+1}{x+2}.$$

Область допустимых значений:

$$2x-4\ne 0,\qquad x+2\ne 0,$$

$$\frac{x-2}{2x-4}>0,\qquad \frac{x+1}{x+2}>0.$$

Из первого отношения при $$x\ne 2$$ имеем

$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac12=\frac{x+1}{x+2}.$$

Решаем уравнение:

$$x+2=2(x+1),$$

$$x+2=2x+2,$$

$$x=0.$$

Проверка: при $$x=0$$ все аргументы логарифмов положительны, значит корень подходит.

Ответ: $$0.$$