Упр.56.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0$$

б) $$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0$$

а) Рассмотрим произведение

$$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$2^{5x-1}=0$$ — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.

2) $$\sin x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$ откуда

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\log_{0,5}(x+4)=0,$$ значит

$$x+4=1,\quad x=-3.$$

Проверим область определения логарифма:

$$x+4>0 \;\Rightarrow\; x>-4,$$

поэтому $$x=-3$$ подходит.

Итак,

$$x=-3,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. При этом нужно учесть область определения:

$$2x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge \frac{15}{2}.$$

1) $$\sin 2x+\cos 2x=0.$$ Делим на $$\cos 2x$$:

$$\tan 2x=-1.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом $$x\ge \frac{15}{2}$$ получаем $$n\ge 6$$.

2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0.$$ Тогда

$$x=8\sqrt{2x-15}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=64(2x-15),$$

$$x^2-128x+960=0,$$

$$\left(x-8\right)\left(x-120\right)=0.$$

Отсюда $$x=8$$ или $$x=120$$. Оба значения удовлетворяют условию $$x\ge \frac{15}{2}$$ и исходному уравнению.

Итак,

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\ge 6;\quad x=8;\quad x=120.$$

Ответ

а) $$x=-3,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\ge 6;\; 8;\; 120.$$