Упр.56.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$; б) $$3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}}=24$$; в) $$3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$; г) $$5^x \cdot 2^{\frac{2-x}{x}}=40$$.

а) $$2^x\cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$

$$2^x\cdot 5^{\frac1x+1}=50$$

$$2^x\cdot 5^{\frac1x}=10$$

Возьмём логарифм по основанию $$2$$:

$$\log_2\!\left(2^x\cdot 5^{\frac1x}\right)=\log_2 10$$

$$x+\frac1x\log_2 5=\log_2 10$$

$$x^2-(\log_2 10)x+\log_2 5=0$$

$$D=(\log_2 10)^2-4\log_2 5=(1+\log_2 5)^2-4\log_2 5=(1-\log_2 5)^2$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{\log_2 10\pm(1-\log_2 5)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=\log_2 5$$

б) $$3^x\cdot 2^{\frac3x}=24$$

Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

$$\log_3\!\left(3^x\cdot 2^{\frac3x}\right)=\log_3 24$$

$$x+\frac3x\log_3 2=\log_3 24$$

$$x^2-(\log_3 24)x+3\log_3 2=0$$

$$D=(\log_3 24)^2-12\log_3 2=(1+3\log_3 2)^2-12\log_3 2=(1-3\log_3 2)^2$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{\log_3 24\pm(1-3\log_3 2)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=3\log_3 2$$

в) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$

Пусть $$t=x-1,\qquad t\ne 0.$$ Тогда $$x=t+1,$$ и уравнение принимает вид

$$3^t\cdot 625^{\frac{t-1}{t}}=225$$

Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

$$t+\frac{t-1}{t}\log_3 625=\log_3 225$$

$$t^2+t(\log_3 625-\log_3 225)-\log_3 225=0$$

Так как

$$\log_3 625-\log_3 225=\log_3\frac{625}{225}=\log_3\frac{25}{9}=2\log_3\frac53=2(\log_3 5-1),$$

а также $$\log_3 225=\log_3(3^2\cdot 5^2)=2+2\log_3 5,$$ получаем

$$t^2+2(\log_3 5-1)t-4\log_3 5=0$$

$$D=4(\log_3 5+1)^2$$

$$t_{1,2}=-\bigl(\log_3 5-1\bigr)\pm(\log_3 5+1)$$

$$t_1=-2\log_3 5,\qquad t_2=2$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$x_1=t_1+1=1-2\log_3 5=\log_3\frac{3}{25}=\log_3 0{,}12,$$

$$x_2=t_2+1=3$$

г) $$5^x\cdot 2^{\frac{2-x}{x}}=40$$

$$5^x\cdot 2^{\frac2x-1}=40$$

$$5^x\cdot 2^{\frac2x}=80$$

Возьмём логарифм по основанию $$5$$:

$$\log_5\!\left(5^x\cdot 2^{\frac2x}\right)=\log_5 80$$

$$x+\frac2x\log_5 2=\log_5 80$$

$$x^2-(\log_5 80)x+2\log_5 2=0$$

$$D=(\log_5 80)^2-8\log_5 2=(1+2\log_5 2)^2-8\log_5 2=(1-2\log_5 2)^2$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{\log_5 80\pm(1-2\log_5 2)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=\log_5 4$$

Ответ

а) $$1,\ \log_2 5$$; б) $$1,\ 3\log_3 2$$; в) $$\log_3 0{,}12,\ 3$$; г) $$1,\ \log_5 4$$.