Упр.56.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin x\cos x-6\sin x+6\cos x+6=0$$;

б) $$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7$$.

Пусть $$y=\cos x-\sin x.$$ Тогда

$$\sin x\cos x-6\sin x+6\cos x+6=0$$
$$\sin x\cos x+6(\cos x-\sin x)+6=0$$

Так как

$$y^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin x\cos x,$$
то
$$\sin x\cos x=\frac{1-y^2}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0$$
$$1-y^2+12y+12=0$$
$$y^2-12y-13=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=12^2+4\cdot 13=196,$$
$$y_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=13.$$

Но $$\cos x-\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значит $$y=13$$ не подходит. Остаётся

$$\cos x-\sin x=-1.$$

Преобразуем:

$$\cos x-\sin x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right) =\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
или
$$x=-\pi+2\pi n.$$

Теперь решим второе уравнение:

$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7$$
$$5\sin 2x-11\sin x-11\cos x+7=0$$
$$10\sin x\cos x-11(\sin x+\cos x)+7=0.$$

Пусть $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$
значит

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим:

$$10\cdot \frac{y^2-1}{2}-11y+7=0$$
$$5y^2-11y+2=0.$$

Решаем:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac15,\qquad y_2=2.$$

Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значение $$y=2$$ не подходит. Значит,

$$\sin x+\cos x=\frac15.$$

Преобразуем сумму:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac15,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=-\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$