Упр.56.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\tg^2 x — 8 = 4\cos^2 x$$; б) $$4\sin^2 x = 4 — 9\tg^2 x$$.

а) $$3\tg^2 x-8=4\cos^2 x$$

Используем формулу $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$ и умножим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$3\sin^2 x-8\cos^2 x-4\cos^4 x=0.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$3(1-\cos^2 x)-8\cos^2 x-4\cos^4 x=0,$$

$$3-11\cos^2 x-4\cos^4 x=0.$$

Сделаем замену $$y=\cos^2 x$$. Тогда получаем:

$$4y^2+11y-3=0.$$

$$D=11^2+4\cdot 4\cdot 3=169,$$

$$y_1=\dfrac{-11-13}{8}=-3,\qquad y_2=\dfrac{-11+13}{8}=\dfrac14.$$

Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0$$. Значит,

$$\cos^2 x=\dfrac14,\qquad \cos x=\pm \dfrac12.$$

Тогда

$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

Преобразуем уравнение и умножим на $$\cos^2 x$$:

$$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x,$$

$$4\sin^2 x=4-\dfrac{9\sin^2 x}{\cos^2 x},$$

$$4\sin^2 x\cos^2 x=4\cos^2 x-9\sin^2 x.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$4(1-\cos^2 x)\cos^2 x=4\cos^2 x-9(1-\cos^2 x),$$

$$4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0.$$

Сделаем замену $$y=\cos^2 x$$. Тогда:

$$4y^2+9y-9=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225,$$

$$y_1=\dfrac{-9-15}{8}=-3,\qquad y_2=\dfrac{-9+15}{8}=\dfrac34.$$

Подходит только $$y=\dfrac34$$, значит

$$\cos^2 x=\dfrac34,\qquad \cos x=\pm \dfrac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$