Упр.56.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$; б) $$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$.

а) Преобразуем разность косинусов по формуле $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$ Тогда

$$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$
$$-2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0$$
$$-2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 4x+\sin 6x=2\sin 5x\cos x.$$

Получаем

$$-4\sin 2x\sin 5x\cos x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

Отсюда

$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$
$$5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5},$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но решения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ уже входят в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому их можно не выделять отдельно.

б) Преобразуем левую часть:

$$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$
$$(\sin 3x-\sin x)+(\cos 3x-\cos x)=0$$
$$2\cos 2x\sin x-2\sin 2x\sin x=0$$
$$2\sin x(\cos 2x-\sin 2x)=0.$$

Значит,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x-\sin 2x=0.$$

Первое уравнение даёт

$$x=\pi n.$$

Во втором случае

$$\cos 2x=\sin 2x,$$
$$\tan 2x=1,$$
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$