Упр.56.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0$$; б) $$\sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0$$.

а) Преобразуем сумму косинусов:

$$\cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0$$

$$(\cos 7x+\cos 5x)-\cos 6x=0$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos 6x\cos x-\cos 6x=0$$

$$\cos 6x\,(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

1) $$\cos 6x=0$$, тогда

$$6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}$$

2) $$2\cos x-1=0$$, тогда

$$\cos x=\frac12$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) Преобразуем разность синусов:

$$\sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0$$

$$(\sin 9x-\sin 5x)+\sin 4x=0$$

По формулам преобразования:

$$2\cos 7x\sin 2x+\sin 4x=0$$

$$2\cos 7x\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=0$$

$$2\sin 2x(\cos 7x+\cos 2x)=0$$

$$2\sin 2x\cdot 2\cos \frac{9x}{2}\cos \frac{5x}{2}=0$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{9x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0$$

1) $$\sin 2x=0$$, тогда

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi n}{2}$$

2) $$\cos \frac{9x}{2}=0$$, тогда

$$\frac{9x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}$$

3) $$\cos \frac{5x}{2}=0$$, тогда

$$\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9},\quad x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$