Упр.56.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$; б) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$

$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\cos^2 2x=1$$

Положим $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$\frac{1-y}{2}+y^2=1$$

$$1-y+2y^2=2$$

$$2y^2-y-1=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

$$y_1=\frac{1+3}{4}=1,\qquad y_2=\frac{1-3}{4}=-\frac12$$

1) Если $$\cos 2x=1$$, то

$$2x=2\pi n,\qquad x=\pi n$$

2) Если $$\cos 2x=-\frac12$$, то

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$

Итак,

$$x=\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0$$

Так как $$\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 6x$$, получаем

$$\cos 6x-\cos 4x=0$$

$$-2\sin 5x\sin x=0$$

Отсюда

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$

2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

Но значения $$x=\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi n}{5}$$, поэтому общее решение:

$$x=\frac{\pi n}{5},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ \ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$.