Упр.56.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12}$$;
   б) $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$.

а) Обозначим $$y=\sqrt{2x^2-8x+12}.$$ Тогда исходное уравнение примет вид

$$x^2-4x-6=y.$$

Из определения $$y$$ имеем

$$y^2=2x^2-8x+12,$$

то есть

$$x^2-4x+6=\frac{y^2}{2}.$$

Подставим это в уравнение:

$$\frac{y^2}{2}-6=y,$$

$$y^2-12=2y,$$

$$y^2-2y-12=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=4+48=52,$$

$$y=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2}=1\pm\sqrt{13}.$$

Так как $$y=\sqrt{2x^2-8x+12}\ge 0,$$ подходит только

$$y=1+\sqrt{13}.$$

Тогда

$$\sqrt{2x^2-8x+12}=1+\sqrt{13}.$$

Возведём в квадрат:

$$2x^2-8x+12=(1+\sqrt{13})^2=14+2\sqrt{13},$$

$$2x^2-8x-2-2\sqrt{13}=0,$$

$$x^2-4x-1-\sqrt{13}=0.$$

Решая это уравнение, получаем

$$x=2\pm\sqrt{5+\sqrt{13}}.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$x=2-\sqrt{5+\sqrt{13}},\; 2+\sqrt{5+\sqrt{13}}.$$

б) Перенесём всё в одну сторону:

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7-x^2.$$

Пусть

$$t=\sqrt{x^2-3x+5}, \quad t\ge 0.$$

Тогда

$$t=3x+7-x^2.$$

Из определения $$t$$:

$$t^2=x^2-3x+5.$$

Подставим выражение для $$x^2$$ из первого уравнения:

$$x^2=3x+7-t,$$

$$t^2=(3x+7-t)-3x+5=12-t,$$

$$t^2+t-12=0.$$

Решаем:

$$D=1+48=49,$$

$$t=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

Получаем $$t=3$$ или $$t=-4$$, но так как $$t\ge 0,$$ берём только $$t=3.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3,$$

$$x^2-3x+5=9,$$

$$x^2-3x-4=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Проверка подстановкой показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$x=-1,\;4.$$