Упр.56.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2}$$; б) $$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3}$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2}.$$

Область допустимых значений:

$$x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$

откуда $$x\ge 1.$$

Перенесём один корень в правую часть и возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{x+1}=\sqrt{2}-\sqrt{x-1}$$

$$x+1=2-2\sqrt{2(x-1)}+x-1.$$

Тогда

$$2\sqrt{2(x-1)}=2-2x,$$

$$\sqrt{2(x-1)}=1-x.$$

Левая часть неотрицательна, значит $$1-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 1.$$

С учётом $$x\ge 1$$ получаем $$x=1.$$

Проверка: $$\sqrt{1+1}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2},$$ верно.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3}.$$

Область допустимых значений:

$$2x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$

откуда $$x\ge 1.$$

Перенесём второй корень вправо и возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{2x+1}=\sqrt{3}+\sqrt{x-1}$$

$$2x+1=3+2\sqrt{3(x-1)}+x-1.$$

Тогда

$$x-1=2\sqrt{3(x-1)}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(x-1\right)^2=4\cdot 3(x-1),$$

$$\left(x-1\right)^2=12(x-1).$$

$$\left(x-1\right)^2-12(x-1)=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-13\right)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=13.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению.

Ответ

а) $$1$$; б) $$1,\,13$$.