Упр.56.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1$$; б) $$(\sqrt{3})^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}$$.

а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1$$

Так как $$1=0{,}5^0,$$ получаем

$$0{,}5^{\sin x-\cos x}=0{,}5^0$$

Следовательно,

$$\sin x-\cos x=0$$

$$\sin x=\cos x$$

Разделим обе части на $$\cos x$$:

$$\tg x=1$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}$$

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt[4]{729}=\sqrt[4]{3^6}=3\sqrt{3}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$$

Делим обе части на $$3\sqrt{3}$$:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}=1.$$

Так как $$1=\left(\sqrt{3}\right)^0,$$ то

$$\sin^2 x-1=0,$$

$$\sin^2 x=1,$$

$$\sin x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$