Упр.56.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt[5]{x}-\sqrt[10]{x}-2=0$$; б) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$; в) $$\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+8=0$$; г) $$3\sqrt[4]{x}-\sqrt[8]{x}-2=0$$.
а) Пусть $$y=\sqrt[10]{x},$$ тогда $$\sqrt[5]{x}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2-y-2=0$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Тогда $$y_1=-1,$$ $$y_2=2.$$ Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\sqrt[10]{x}\ge 0.$$
Остаётся:
$$\sqrt[10]{x}=2,$$
$$x=2^{10}=1024.$$
Ответ: $$1024.$$
б) Пусть $$y=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2+2y-3=0$$
$$D=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Тогда $$y_1=-3,$$ $$y_2=1.$$ Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\sqrt[8]{x}\ge 0.$$
Остаётся:
$$\sqrt[8]{x}=1,$$
$$x=1^8=1.$$
Ответ: $$1.$$
в) Пусть $$y=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2.$$ Получаем:
$$y^2-6y+8=0$$
$$D=36-32=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$
Тогда $$y_1=2,$$ $$y_2=4.$$
Следовательно,
$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=2^6=64,$$
$$\sqrt[6]{x}=4 \Rightarrow x=4^6=4096.$$
Ответ: $$64; 4096.$$
г) Пусть $$y=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2.$$ Получаем:
$$3y^2-y-2=0$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}.$$
Тогда $$y_1=-\frac{2}{3},$$ $$y_2=1.$$ Значение $$y=-\frac{2}{3}$$ не подходит, так как $$\sqrt[8]{x}\ge 0.$$
Остаётся:
$$\sqrt[8]{x}=1,$$
$$x=1^8=1.$$
Ответ: $$1.$$
