Упр.56.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$16x-15\sqrt{x}-1=0$$; б) $$2-x+3\sqrt{2-x}=4$$; в) $$3x-8\sqrt{x}+5=0$$; г) $$5\sqrt{x+3}+x+3=6$$.

а) Область допустимых значений: $$x \ge 0.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x}=t,\quad t \ge 0.$$ Тогда получаем

$$16t^2-15t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$

$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{32}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac{1}{16}\; \text{не подходит},\qquad t_2=1.$$

Значит, $$\sqrt{x}=1,$$ откуда $$x=1.$$

Ответ: $$1.$$

б) Область допустимых значений: $$2-x \ge 0,$$ то есть $$x \le 2.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{2-x}=t,\quad t \ge 0.$$ Тогда

$$t^2+3t-4=0.$$

Разложим на множители:

$$(t+4)(t-1)=0.$$

Получаем

$$t_1=-4\; \text{не подходит},\qquad t_2=1.$$

Тогда

$$\sqrt{2-x}=1,$$

$$2-x=1,$$

$$x=1.$$

Ответ: $$1.$$

в) Область допустимых значений: $$x \ge 0.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x}=t,\quad t \ge 0.$$ Тогда

$$3t^2-8t+5=0.$$

Разложим на множители:

$$(3t-5)(t-1)=0.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{5}{3},\qquad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x_1=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9},\qquad x_2=1.$$

Ответ: $$1;\ \frac{25}{9}.$$

г) Область допустимых значений: $$x+3 \ge 0,$$ то есть $$x \ge -3.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x+3}=t,\quad t \ge 0.$$ Тогда

$$t^2+5t-6=0.$$

Разложим на множители:

$$(t+6)(t-1)=0.$$

Получаем

$$t_1=-6\; \text{не подходит},\qquad t_2=1.$$

Тогда

$$\sqrt{x+3}=1,$$

$$x+3=1,$$

$$x=-2.$$

Ответ: $$-2.$$