Упр.56.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{6x^2-3}=\sqrt{5x-2}$$; б) $$\sqrt{3x^2-5x}=\sqrt{x^2+2x-5}$$.
а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{6x^2-3}=\sqrt{5x-2}.$$
Так как обе части неотрицательны, возведём уравнение в квадрат:
$$6x^2-3=5x-2$$
$$6x^2-5x-1=0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25+24=49$$
$$x=\frac{5\pm 7}{12}$$
$$x_1=-\frac16,\quad x_2=1$$
Проверим корни:
$$x=-\frac16:\quad 5x-2=-\frac{17}{6}<0,$$
значит, этот корень не подходит.
$$x=1:\quad \sqrt{6\cdot 1^2-3}=\sqrt3,\quad \sqrt{5\cdot 1-2}=\sqrt3,$$
корень подходит.
Ответ: $$1$$
б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{3x^2-5x}=\sqrt{x^2+2x-5}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x^2-5x=x^2+2x-5$$
$$2x^2-7x+5=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 5=49-40=9$$
$$x=\frac{7\pm 3}{4}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac52$$
Проверим корни:
$$x=1:\quad 3\cdot 1^2-5\cdot 1=-2<0,$$
значит, этот корень не подходит.
$$x=\frac52:\quad 3\left(\frac52\right)^2-5\cdot \frac52=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{4}<0,$$
здесь подкоренное выражение также не подходит, поэтому нужно учесть область допустимых значений:
$$3x^2-5x\ge 0,\qquad x^2+2x-5\ge 0.$$
Из этих условий получаем, что подходит только $$x=\frac52.$$
Проверка:
$$\sqrt{3\left(\frac52\right)^2-5\cdot \frac52}=\sqrt{\frac{25}{4}},\qquad \sqrt{\left(\frac52\right)^2+2\cdot \frac52-5}=\sqrt{\frac{25}{4}}.$$
Следовательно, $$x=\frac52.$$
Ответ: $$\frac52$$
