Упр.56.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$(x-1)^4+36=13(x^2-2x+1);$$

б) $$(2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9).$$

а) Преобразуем уравнение:

$$(x-1)^4+36=13(x^2-2x+1)=13(x-1)^2$$

Сделаем замену:

$$t=(x-1)^2,\quad t\ge 0$$

Тогда получаем:

$$t^2-13t+36=0$$

$$(t-4)(t-9)=0$$

Отсюда:

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=9$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$(x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2 \Rightarrow x=-1,\ 3$$

$$(x-1)^2=9 \Rightarrow x-1=\pm 3 \Rightarrow x=-2,\ 4$$

б) Преобразуем уравнение:

$$(2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9)=8(2x+3)^2$$

Сделаем замену:

$$t=(2x+3)^2,\quad t\ge 0$$

Тогда:

$$t^2-8t-9=0$$

$$(t-9)(t+1)=0$$

С учётом условия $$t\ge 0$$ подходит только $$t=9$$.

Тогда:

$$(2x+3)^2=9$$

$$2x+3=\pm 3$$

Отсюда:

$$2x=0 \Rightarrow x=0$$

$$2x=-6 \Rightarrow x=-3$$

Ответ: а) $$-2,\,-1,\,3,\,4$$; б) $$-3,\,0$$.